LIMITES

Siete indeterminaciones Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciado no son válidas. En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones. Da click en cada una de las indeterminaciones para encontrar ejemplos de cómo tratarlas: Infinito partido por infinito Cero partido por cero Cero por infinito Cero elevado a la cero Infinito menos infinito

 Una asíntota es una recta a la cual se aproxima indefinidamente una función, sin llegar nunca a tocarla. Tipos de asíntotas La palabra asíntota proviene del griego asumptotos que significa sin encontrarse. En la figura tenemos los 3 tipos de asíntotas que puede presentar una función: en verde, una asíntota horizontal; en rojo, una asíntota vertical; en azul, una asíntota oblicua. Como puedes ver, las ramas de la función nunca tocan a las asíntotas, pero se aproximan de manera constante a ellas. Como ves, gráficamente las asíntotas se asocian a ramas de la función infinitas (que no tienen fin). En este apartado aprenderemos a calcular: Asintotas Verticales Decimos que la recta x=k es una asíntota vertical de la función f(x) cuando se cumple: Donde: k: es el valor real del eje x al que se aproxima la función de forma indefinida, ya sea por la izquierda o por la derecha del mismo. Por ejemplo, -2,0 ó 1. Se dice que la función diverge en x=k f(x): Es la función que presenta la asíntota Po

 Operaciones con limites   Limite de la suma y resta de funciones El límite de la suma o diferencia de dos funciones es la suma o resta de los límites de cada función. Así, si lim f(x)=a y lim g(x)=b  Ten presente que esta operación puede dar lugar a una indeterminación de tipo ∞-∞ (cuando a y b sean valores infinitos) que habría que resolver por otros métodos. Ejemplo Sabiendo que limx→∞f(x)=3 y que limx→∞g(x)=2, nos queda que: limx→∞(f(x)+g(x))=limx→∞f(x)+limx→∞g(x)=3+2=5limx→∞(f(x)−g(x))=limx→∞f(x)−limx→∞g(x)=3−2=1 Sabiendo que limx→1f(x)=127 y que limx→1g(x)=5, nos queda que: Limite del producto de funciones El límite del producto de dos funciones es el producto de los límites de cada función. Así, si lim f(x)=a y lim g(x)=b entonces: lim [f(x)⋅g(x)]=lim f(x)⋅lim g(x)=a⋅b Ten presente que esta operación puede dar lugar a una indeterminación de tipo 0·∞ que habría que resolver por otros métodos. Limite del cociente de funciones El límite del cociente de dos funciones es la división

De manera intuitiva, el límite de una función real en el infinito (o en el menos infinito) es el valor al que se aproxima la función (es decir, su coordenada y) a medida que la coordenada x se hace "más y más grande". En la siguiente imagen queda recogido el concepto y la notación que se suele utilizar: En la imagen, los 4 posibles comportamientos de la función cuando el valor de x crece indefinidamente (decimos, cuando x tiende a ∞). En 1, la función se aproxima a L, por tanto ese es el valor del límite. En 2, la función se va al infinito y en 3 se va a menos infinito. En 4, no existe el límite ya que la función es periódica y no se aproxima a ningún valor concreto. Aproximaciones sucesivas al infinito Ya hemos hablado en apartados anteriores de la estrecha relación que guardan los límites con la idea de aproximarnos sucesivamente a un valor concreto. En este caso, y estrictamente hablando, el infinito no es un valor, sino más bien una idea. ¿Qué significa por tanto que x→∞?

 Operaciones con Infinito El infinito (∞) es un concepto que ha ocupado la mente de filósofos, matemáticos y grandes científicos a lo largo de la historia. Aunque la definición concreta depende del campo en el que nos encontremos (geometría, teoría de conjuntos, análisis de funciones), todas ellas tienen en común la noción de una cantidad sin límite. Para representar el infinito se utiliza un símbolo denominado lemniscata. En la figura puedes ver distintas representaciones del mismo. Corresponden todas al carácter Unicode U+221E (código ∞) en distintos tipos de letra. Su nombre proviene del griego λημνίσκος (lemniscos), que significa lazo. Aunque se asemeja bastante a un 8 tumbado, su forma precisa está descrita como el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de las distancias desde dos puntos focales es constante (en contraposición a la elipse dónde es la suma a estos la que permanece constante). Concepto En la famosa película de animación Toy Story el vaquero W

 Limite de una Funcion De manera intuitiva, el límite de una función real en un punto 'a' es el valor L al que se aproxima la función (es decir, su coordenada y) a medida que la coordenada x se aproxima a a. En la siguiente imagen queda recogido el concepto y la notación que se suele utilizar: A la izquierda la notación empleada para referirnos al límite. Se lee "límite de f(x) cuando x tiende a a" . El valor del límite es L, representado en azul. La función f(x) está en rojo, y el punto en el que estamos estudiando el límite tiene una coordenada x cuyo valor es a, en verde. A la derecha esta misma idea representada de manera dinámica. A medida que nos acercamos a x=a, las correspondientes imágenes se aproximan al valor del límite L. Aunque en este caso, el valor del límite coincide con el de la función en el punto, pues f(a)=L, en realidad se trata de dos conceptos distintos, como veremos más abajo. Aproximaciones Sucesivas Imagina que te pedimos que recorras la mita