Limite de una Funcion en un punto

 Limite de una Funcion

De manera intuitiva, el límite de una función real en un punto 'a' es el valor L al que se aproxima la función (es decir, su coordenada y) a medida que la coordenada x se aproxima a a. En la siguiente imagen queda recogido el concepto y la notación que se suele utilizar:

notación y concepto de límite de una función

A la izquierda la notación empleada para referirnos al límite. Se lee "límite de f(x) cuando x tiende a a" . El valor del límite es L, representado en azul. La función f(x) está en rojo, y el punto en el que estamos estudiando el límite tiene una coordenada x cuyo valor es a, en verde. A la derecha esta misma idea representada de manera dinámica. A medida que nos acercamos a x=a, las correspondientes imágenes se aproximan al valor del límite L. Aunque en este caso, el valor del límite coincide con el de la función en el punto, pues f(a)=L, en realidad se trata de dos conceptos distintos, como veremos más abajo.

Aproximaciones Sucesivas

Imagina que te pedimos que recorras la mitad de la distancia que te separa de la puerta de tu habitación. Una vez allí, te pedimos que lo hagas de nuevo... y una vez allí, una vez más... ¿Llegarías finalmente a recorrer la distancia que te separaba de la puerta al principio si seguimos dándote, una y otra vez, la misma orden? 

Lo cierto es que en cada iteración te aproximarías al valor de la distancia total, y, si repitieras el proceso infinitas veces, efectivamente, lo alcanzarías. Apliquemos a una función esta idea de aproximarnos sucesivamente a un punto:





¿Qué valor alcanza la función (es decir, su coordenada y) cuando la x se aproxima a 3?

Tu primera tentación puede ser intentar calcular f(3)... pero vemos que queda 0/0, y ya sabemos que no tiene sentido en matemáticas dividir entre 0 (y mucho menos si el número que divido es el propio cero). Pero observa qué ocurre cuando hacemos varias aproximaciones sucesivas:
















Como vemos, la sucesión de valores también nos conduce a 1. Por tanto, podemos decir que 1 es el límite de f(x)=x2−4x+32x−6 cuando x se aproxima a 3, y escribir:





Ejemplo de límite de una función

Observa que la función no está definida para x=3; sin embargo, tomando valores próximos, los valores de y correspondientes son cada vez más próximos a 1, ya sean los valores de x tomados por la izquierda (menores y representados un verde más claro) o por la derecha (mayores y representados en un verde más oscuro).


Aunque decimos "límite de una función en un punto", cuando calculamos el límite lo que hacemos es estudiar si las imágenes de la función se acercan a un valor concreto cuando la variable independiente x "tiende a" a (o "se acerca a" a). Dicho de otra manera, el límite es un concepto dinámico.


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