Asintotas de una funcion

 Una asíntota es una recta a la cual se aproxima indefinidamente una función, sin llegar nunca a tocarla.

Tipos de asíntotas

La palabra asíntota proviene del griego asumptotos que significa sin encontrarse. En la figura tenemos los 3 tipos de asíntotas que puede presentar una función: en verde, una asíntota horizontal; en rojo, una asíntota vertical; en azul, una asíntota oblicua. Como puedes ver, las ramas de la función nunca tocan a las asíntotas, pero se aproximan de manera constante a ellas.

Como ves, gráficamente las asíntotas se asocian a ramas de la función infinitas (que no tienen fin). En este apartado aprenderemos a calcular:

Asintotas Verticales

Decimos que la recta x=k es una asíntota vertical de la función f(x) cuando se cumple:

Donde:

• k: es el valor real del eje x al que se aproxima la función de forma indefinida, ya sea por la izquierda o por la derecha del mismo. Por ejemplo, -2,0 ó 1. Se dice que la función diverge en x=k
• f(x): Es la función que presenta la asíntota

Por tanto, para saber si una función presenta asíntotas verticales en un punto, habría que estudiar el límite en él. Basta con que solo uno de los límites laterales exista, para que consideremos x=k una asíntota vertical.

Asíntotas verticales

Gráficamente, las asíntotas verticales se distinguen porque, a medida que nos acercamos a un valor concreto de x, la función "se va" a infinito (o a menos infinito). En 1 los límites laterales, y por tanto el límite, de la función es infinito. En el segundo caso, los límites laterales son distintos, por lo que no existe, estrictamente hablando, el límite, aunque sí la asíntota. En 3 y 4 podemos ver que basta que sólo uno de los límites laterales sea infinito para que exista la asíntota.

Calculo en funciones racionales

Ya sabes que una función racional es aquella que se puede expresar como el cociente de dos polinomios: f(x)=P(x)/Q(x). En estos casos:

• Simplificamos f(x) factorizando P(x) y Q(x) y eliminando las raíces comunes
• Las raíces del denominador son las asíntotas verticales de f(x), con lo que las buscamos haciendo Q(x)=0

Calculo en funciones logaritmicas

Las funciones logarítmicas tienen una asíntota vertical en el punto en que se anula el argumento. Así, por ejemplo:

En la siguiente grafica tienes un esbozo de la situacion

Encontrarás asíntotas verticales en aquellas funciones racionales que den lugar a una indeterminación del tipo k/0

Calculo en funciones logaritmicas

Las funciones logarítmicas tienen una asíntota vertical en el punto en que se anula el argumento. Así, por ejemplo:

Asíntotas en funciones logarítmicas

Las funciones logarítmicas tienen una asíntota vertical en los puntos en que se anula el argumento (x=0 en el caso de las dos gráficas de la figura). En 1, forma de las funciones logarítmicas cuando la base es mayor que 1. A la derecha, el caso de las funciones logarítmicas con base entre 0 y 1.

Funciones Trigonometricas

Las funciones trigonométricas seno y coseno no tienen asíntotas de ningún tipo. Las funciones que se forman a partir de estas, tangente, cosecante, secante y cotangente, tienen asíntotas verticales cuando se anula el denominador. Recuerda que:

Asíntotas en funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas tienen asíntotas verticales en aquellos puntos en que se anula el denominador, lo cual ocurre de manera periódica en las funciones tangente de x (1), cosecante de x (2), secante de x (3) y cotangente de x (4).

Asintotas Horizontales

Decimos que la recta y=k es una asíntota horizontal de la función f(x) cuando se cumple:

Donde:

• k: Es el valor real, por ejemplo 3, 0 ó -1, al que se aproxima la función (su coordenada y) cuando la x se hace infinitamente grande, por la derecha (x→∞) o por la izquierda (x→-∞)
• f(x): Es la función que presenta la asíntota

Por tanto para a saber si una función presenta asíntotas horizontales, basta calcular los límites anteriores, en infinito y menos infinito, y ver si alguno da un valor real concreto.

Por tanto para a saber si una función presenta asíntotas horizontales, basta calcular los límites anteriores, en infinito y menos infinito, y ver si alguno da un valor real concreto.

 

Asíntotas horizontales

Gráficamente, las asíntotas horizontales se distinguen porque cuando la x se hace infinitamente grande (por la derecha o por la izquierda), la función se aproxima a un valor concreto. Según consideremos el límite en +∞ o -∞, decimos que la asíntota horizontal se presenta por la derecha o por la izquierda de la función respectivamente. Por tanto, una función puede tener ninguna asíntota horizonte, una, como en el caso de la figura 1, o dos, como en el caso de la figura 2.

Calculo en funciones racionales

En este caso, siendo f(x)=P(x)/Q(x) una función racional, resulta inmediato el cálculo de limx→±∞f(x) mediante comparación de infinitos. Así podemos distinguir dos casos:

• Si grado P(x) < grado Q(x), y=0 será asíntota horizontal.
• Si grado P(x) = grado Q(x), el cociente entre los términos de mayor grado del numerador y del denominador es la asíntota horizontal

Esbozo de asíntotas horizontales

En la figura, el esbozo de las asíntotas horizontales del ejemplo. Observa que, mientras la rama izquierda se acerca a la asíntota y=1 desde abajo, la derecha lo hace desde arriba. Para distinguir un caso del otro damos a la x valores muy grandes, positivos y negativos respectivamente, y comprobamos si el valor de la función es ligeramente superior o inferior al de la asíntota. Si es inferior, la función se acerca desde abajo. Si es superior lo hace desde arriba.

Calculo en funciones exponenciales

Las funciones exponenciales tienen una asíntota horizontal en menos infinito o en infinito según la base sea mayor que uno o esté entre 0 y 1 respectivamente. Así, por ejemplo: