Introducción a límites

 Introducción a límites

Los límites describen cómo se comporta una función cerca de un punto, en vez de en ese punto. Esta simple pero poderosa idea es la base de todo el cálculo.

Para entender qué son los límites, consideremos un ejemplo. Empezamos con la función f(x)=x+2
















El límite de f en x=3 es el valor al cual se aproxima f a medida que nos acercamos más y más a x=3. Gráficamente, es el valor de y al que tendemos en la gráfica de f al acercarnos más y más al punto de la gráfica donde x=3

Por ejemplo, si partimos del punto (1,3) y nos movemos en la gráfica hasta estar muy cerca de x=3,  entonces nuestro valor y (es decir, el valor de la función) está muy cerca de 5.
















Similarmente, si empezamos en (5,7)(5,7) y nos movemos a la izquierda hasta estar muy cerca de x=3, el valor y nuevamente estará muy cerca de 5.

Por estas razones, decimos que el límite de f en x=3 es 5.
















Tal vez te preguntes cuál es la diferencia entre el límite de f en x=3x y el valor de f en x=3  es decir, f(3).

Y sí, el límite de f(x)=x+2 en x= 3 es igual a f(3) pero este no siempre es el caso. Para entender esto, consideremos la función g. Esta función es igual a f, excepto que no está definida para x=3.

















[¿Qué clase de función es g?]

Tal como con f, el límite de g en x, equals, 3 es 5. Esto se debe a que aún podemos acercarnos mucho a x, equals, 3 y los valores de la función se acercarán muchísimo a 5.












Así que el límite de g en x, equals, 3 es igual a 5, ¡pero el valor de g en x, equals, 3 no está definido! ¡No son lo mismo!
Esa es la belleza de los límites: no dependen del valor real de la función en el límite. Describen cómo se comporta la función al acercarse al limite.


Comentarios

Publicar un comentario

Entradas más populares de este blog

Asintotas de una funcion

Imagen
 Una asíntota es una recta a la cual se aproxima indefinidamente una función, sin llegar nunca a tocarla. Tipos de asíntotas La palabra asíntota proviene del griego asumptotos que significa sin encontrarse. En la figura tenemos los 3 tipos de asíntotas que puede presentar una función: en verde, una asíntota horizontal; en rojo, una asíntota vertical; en azul, una asíntota oblicua. Como puedes ver, las ramas de la función nunca tocan a las asíntotas, pero se aproximan de manera constante a ellas. Como ves, gráficamente las asíntotas se asocian a ramas de la función infinitas (que no tienen fin). En este apartado aprenderemos a calcular: Asintotas Verticales Decimos que la recta x=k es una asíntota vertical de la función f(x) cuando se cumple: Donde: k: es el valor real del eje x al que se aproxima la función de forma indefinida, ya sea por la izquierda o por la derecha del mismo. Por ejemplo, -2,0 ó 1. Se dice que la función diverge en x=k f(x): Es la función que presenta la asíntot...
Leer más

Operaciones con Infinito

Imagen
 Operaciones con Infinito El infinito (∞) es un concepto que ha ocupado la mente de filósofos, matemáticos y grandes científicos a lo largo de la historia. Aunque la definición concreta depende del campo en el que nos encontremos (geometría, teoría de conjuntos, análisis de funciones), todas ellas tienen en común la noción de una cantidad sin límite. Para representar el infinito se utiliza un símbolo denominado lemniscata. En la figura puedes ver distintas representaciones del mismo. Corresponden todas al carácter Unicode U+221E (código ∞) en distintos tipos de letra. Su nombre proviene del griego λημνίσκος (lemniscos), que significa lazo. Aunque se asemeja bastante a un 8 tumbado, su forma precisa está descrita como el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de las distancias desde dos puntos focales es constante (en contraposición a la elipse dónde es la suma a estos la que permanece constante). Concepto En la famosa película de animación Toy Story el vaque...
Leer más

Limite de una funcion en el infinito

Imagen
De manera intuitiva, el límite de una función real en el infinito (o en el menos infinito) es el valor al que se aproxima la función (es decir, su coordenada y) a medida que la coordenada x se hace "más y más grande". En la siguiente imagen queda recogido el concepto y la notación que se suele utilizar: En la imagen, los 4 posibles comportamientos de la función cuando el valor de x crece indefinidamente (decimos, cuando x tiende a ∞). En 1, la función se aproxima a L, por tanto ese es el valor del límite. En 2, la función se va al infinito y en 3 se va a menos infinito. En 4, no existe el límite ya que la función es periódica y no se aproxima a ningún valor concreto. Aproximaciones sucesivas al infinito Ya hemos hablado en apartados anteriores de la estrecha relación que guardan los límites con la idea de aproximarnos sucesivamente a un valor concreto. En este caso, y estrictamente hablando, el infinito no es un valor, sino más bien una idea. ¿Qué significa por tanto que x→∞?...
Leer más